数学

【確率】当たりがでる確率を計算する方法【二項分布】【Excel/Python】

『当たり』。なんていい響きなんでしょう。
『当選』。なんていい響きなんでしょう。

  • 『チョコボール』にしろ、
  • 『ブラックモンブラン』にしろ、
  • 『ロト6』にしろ、
  • 『年末ジャンボ宝くじ』にしろ、
アオキ
『当たり』がでる確率が計算できたとしたら、オラなんだかワクワクすっぞ

って事で、

『当たる』か『当たらないか』の2択の場合の計算方法を、
まとめてみることにしました。

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当たるか当たらないかを計算する方法

お題はなんでもいいんですが、
今回は『ブラックモンブラン』で当たる確率を計算してみることにします。

アオキ
『ブラックモンブラン』ってこんなアイスです、九州地方にしかないかも?

『10点当たり』とか『50点あたり』とか、
『当たり』にもいくつか種類があるんですが、

今回はシンプルに、

『当たる』か『当たらない』かの2択として、

5本のうち1本は当たりが入っていると想定してみます。

  • 『当たる』確率・・ 1/5
  • 『当たらない』確率・・1 – 1/5 で 4/5

ですね。

当たりが出る確率を計算したい 確率変数とは

例えば4回『ブラックモンブラン』を買うとして、

『当たり』をひく回数をXと表すと、

  • 1回も当たらない・・あたりは0本
  • 4回とも当たる・・あたりは4本

というわけで、

X = 0, 1, 2, 3, 4

と、5通りの可能性がでてきます。

『当たり』がでるパターンの事を、
『確率変数(かくりつへんすう)』といいます。

例えば4回買って2回『当たり』の場合は、

P(X=2) と表現するようです。

  • 確率変数・・英語でProbability variable(プロバビリティ バリアブル)

今回の場合でいうと、
4回買って当たり0本の場合もあれば、
4回買って4本とも当たる可能性もありえるので、

『確率変数』は、

  • P(X=0)
  • P(X=1)
  • P(X=2)
  • P(X=3)
  • P(X=4)

と、5パターンありえることになります。

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当たりが出る確率を計算する方法 『ベルヌーイ試行』

今回のように、
『当たる』か『当たらない』かなど、
2つの選択肢で確率を考えることを、

『ベルヌーイ試行』といいます。

  • ベルヌーイ試行・・英語でBernoulli trial(ベルヌーイ トライアル)

  • ヤコブ・ベルヌーイ・・1654~1705 スイスの数学者・科学者

計算式はこう。

$p^r \times (1 – p)^{n-r} \times {}_n \mathrm{ C }_r $

アオキ
うん、簡単な計算式、じゃないっすね・・
  • p・・確率
  • n・・繰り返す数
  • r・・当たりを引く数

  • $p^r $・・r回 当たる

  • $(1 – p)^{n-r}$・・(n-r)回当たらない
  • ${}_n \mathrm{ C }_r $・・n回中どのr回で当たるか

『組み合わせ』の関連記事

この計算式を、

  • P(X=0)
  • P(X=1)
  • P(X=2)
  • P(X=3)
  • P(X=4)

の5つのパターンでそれぞれ計算すれば、
それぞれの確率がわかるという事になります。

手計算で頑張ってもいいんですが、

今回は、

『Excel(エクセル)』
『Python(パイソン)』

それぞれの機能を使って計算してみたいと思います。

当たりが出る確率を計算する 『二項分布』をExcelで

『当たり』か『当たらない』かのように、

2択で分けられる場合の表やグラフの事を、

『二項分布(にこうぶんぷ)』といいます。

英語だと、
『Binomial Distribution』(バイノミアル ディストリビューション)
という呼び名になります。

『Excel(エクセル)』だと、

『二項分布』の英語名を省略した『BINOM.DIST』関数を使います。

引数は4つ。

  • 値・・当たりの本数(r)
  • 実施する回数・・(n)
  • 当たる確率・・(p)
  • false・・確率質量関数(trueで累積分布関数)

5つのパターンをそれぞれ計算して、

  • P(X=0)
  • P(X=1)
  • P(X=2)
  • P(X=3)
  • P(X=4)

値と計算した範囲を選びつつ、
グラフの挿入→散布図 とするとこんなグラフが描けます。

試しに『ブラックモンブラン』を買う回数(n)を 4回→10回にするとこう変わります。

試しに当たる確率(p)を 0.2 → 0.5 (50%) にするとこう変わります。

アオキ
まさに『正規分布(せいきぶんぷ)』と同じ形ですな・・

どうやら当時の『ベルヌーイ』さんが、
『二項分布』をいろいろと試しているうちに、
『正規分布』の法則も見つけていったそうです。

『正規分布』の関連記事

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当たりが出る確率を計算する 『二項分布』をPythonで

『Python(パイソン)』ではいくつか描画する方法がありますが、

今回は計算ライブラリ『scipy(サイパイ)』の中の『binom』関数を使ってみます。

コマンドを実行すると、こんなグラフが表示されます。

アオキ
慣れてくるとPythonの方がさくっと描画できるようになりそうな。

環境設定の参考記事

当たりが出る確率の計算をまとめてみて

  • 『当たる』か『当たらない』か
  • 『売れる』か『売れない』か
  • 『丁』か『半』か
  • 『好き』か『好きじゃない』か

まるで花占いみたいに、2択で判断できる確率をまとめてみるうちに、

  • ベルヌーイ試行
  • 確率変数
  • 二項分布

などといった統計学の専門用語に触れる事になりました。

計算方法はちょっとややこしいですが、

『エクセル』なり『Python』なりの力を借りれば、

たくさんのケースでもさくっと計算できるので、

うまく使いこなして、一番いい確率を見計らって勝負をかけたいもんです。

アオキ
『ブラックモンブラン』の当たる確率、ホントの所はどのくらいなんだろか・・
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1. 【分散】【標準偏差】とは わかりやすくまとめてみた【ExcelとPython】

2. 【正規分布】とは わかりやすくまとめてみた【ExcelとPython】

3. 【確率】当たりがでる確率を計算する方法【二項分布】【Excel/Python】

4. 順列・組み合わせ・階乗とは わかりやすくまとめてみた【数学】

5. 【確率(加法定理)】とは わかりやすくまとめてみた【※初心者向け】

6. 【条件付き確率】とは わかりやすくまとめてみた

アオキ
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