数学

【確率(加法定理)】とは わかりやすくまとめてみた【初心者向け】

最近よく目にする『機械学習』や『メディアアート』を知るうちに、

『確率の考え方』が使われていることを知りましたので、

初心者向けにまるっとまとめてみることにしました。

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確率とは わかりやすく トランプで例えてみる

ジョーカーを除いたトランプを用意したとして、

その中からカードを1枚引くとします。

図で書くとこんな感じでしょうか。

トランプは全部で52枚。
その中でダイヤは13枚。

確率は英語で『Probability(プロバビリティ)』なので、

頭文字をとって『P』で表すと、

$P = \frac{13}{52}$

になります。

アオキ
『ダイアかどうか』という1つの条件なら簡単かなと思います。

条件が2つあるとちょっとややこしくなります。

確率とは わかりやすく 条件が関わっているかどうか

条件が2つある場合は、

  • 2つの条件が同時に起こりうるか
  • 同時には起こりえないか

という事を考える必要がでてきます。

例えばトランプを1枚引くとして、

2つの条件が『ダイヤか数字の2』だったとしたら、

ダイヤかつ数字の2のカードはあるので、

『2つの条件が同時』に起こっているという事になります。

この図でいうと右側の状態です。

もし2つの条件が、『数字の5か6』という条件なら、

数字の5かつ6というカードはありえないので、図でいうと左側の状態になります。

2つの条件が同時に起こらない状態を『排反(はいはん)』というそうで、

英語だと『disjoint(ディスジョイント)』になります。

『ジョイント』はくっつくという意味で、
『ディス』は否定形なので、

『ジョイントしてるか、してないか』と覚えるといいのかなと思います。

アオキ
個人的には英語の方がわかりやすい感。
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確率とは わかりやすく AND条件とOR条件

条件には大きく『AND条件』と『OR条件』の2種類にわかれます。

  • AND条件・・ダイヤかつ数字の2 ・・ 52枚中1枚だけ
  • OR条件・・・ダイヤもしくは数字の2・・52枚中16枚

『AND』条件の方が対象が狭くなってきます。

図で書くとこうなります。

専門的に書くとこんな記号を使うようです。

  • AND条件(積事象)・・$A \cap B$
  • OR条件(和事象)・・$A \cup B$
アオキ
AND条件の方は大文字のAに似てるかも?

と思って覚えることにします。

確率とは わかりやすく 加法定理1 排反している場合

先ほどの例で、

トランプのカードを1枚引くとして、

『数字の5か6』という条件だった場合。

同時には起こりえないので『排反(disjoint)』ということになり、

数式ではこう表します。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) $

アオキ
『加法定理』というそうです。

ぱっと見なんじゃこりゃなんですが、

一つずつ確認すると、

  • 数字の5がでる確率(P(A))・・ 4 / 52
  • 数字の6がでる確率(P(B))・・ 4 / 52

になるので、分数で足し算するとこうなります。

$\frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$

『分母』が同じなので、『分子』を足して『約分』しています。

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確率とは わかりやすく 加法定理2 排反していない場合

もし条件が『ダイヤか数字の5』という場合は、
ちょっとだけややこしくなります。

式はこう。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

  • ダイヤがでる確率(P(A))・・ 13 / 52
  • 数字の5がでる確率(P(B))・・ 4/ 52
  • ダイヤで数字の5がでる確率・・ 1 / 52

になるので、

$\frac{13}{52} + \frac{4}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} $

になります。

アオキ
2つの確率からダブってる分を引いてるんですな。

確率(加法定理)をまとめてみて

『機械学習』でも『メディアアート』でも、

かなり高度な確率計算が使われているのですが、

その土台となるのが今回の『加法定理』になるので、

しっかりおさえてちょくちょく見直していきたいと思います。

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