数学

【指数】とは わかりやすくまとめてみた【初心者向け】


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『プログラム』でかっこいい映像をつくりたいと『シェーダー』を調べていると、

やけに目にする機会が増えた、『指数(しすう)』『対数(たいすう)』

『指数』ってこんなの。

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

『対数』ってこんなの。

$$\log_{ 2 } 8 = 3$$

『指数』と『対数』は掛け算と割り算みたいな関係になっているそうで。

アオキ
『指数』はたまに見るけど、『対数』は全然見ないなぁ。

なんて思っていたんですが、

よくよくググっているうちに、

  • 経済学
  • 統計学
  • 物理学(熱も流体も)
  • 生物学
  • 科学
  • 情報工学(IT)
  • コンピュータグラフィックス
  • 日常生活(音、震度、天気、電波、スマホ)

などなど、

実はものすごい範囲で使われている事を知りました。

アオキ
これはしっかりまとめておいたほうがええね。

ということで、できるだけわかりやすくまとめてみることにしました。

『対数』についての参考記事

この記事では『指数』についてまとめています。

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指数をわかりやすく 指数の目的や使いみち

まずは『指数(しすう)』。

『指数』は、数字の右上に小さく数値(文字)を書くことで、

同じ数を右上の数だけ掛け算した値になります。

$$10^3$$ の場合、10を3回かけ算するという意味になります。

$$ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 $$

ですね。

グラフにすると、こんな形になっていきます。

アオキ
グイーーンと上がっていってますな。

『指数』を使うと、

とんでもなく大きい数(小さい数)をわかりやすく表現できるようになります

例えば日本の人口が1億2千万人として、

全て数字で書くと

120000000

になります。

世界人口 70億人だと、

7000000000

になります。

アオキ
なんだか0ばっかりですな・・・

『指数』を使うと、0をまとめてすっきり書くことができます。

  • 1億2千万人の場合・・ $$ 12 \times 10^7 $$
  • 70億人の場合・・$$ 7 \times 10^9 $$

になります。

アオキ
だいぶスッキリしましたな。

別の例えで、人間の細胞は約37兆個あるそうです。

『指数』で表すと、$$ 37 \times 10^{12} $$ になります。

アオキ
す、すごい数ですな・・

気になる数字をチェック! 37兆個 | 北大リサーチ&ビジネスパーク

また、キロメートルやセンチメートルなどの単位も『指数』で表すことができます。

記号読み大きさ
kキロ$$10^3$$
Mメガ$$10^6$$
Gギガ$$10^9$$
Tテラ$$10^{12}$$
Pペタ$$10^{15}$$
アオキ
パソコンのハードディスクのサイズみたいにどんどん増えていきますな。

『スマホ』で使われている『周波数』もこれらの単位が使われています。

画像出典:docomo 電波ってなあに?

天文学などの分野でも大きい数字が必要で、『指数』が重宝しているようです。

スケールの大きさが分かる動画がありました。

アオキ
そういえば子供の頃の夢は宇宙飛行士だったのでした・・←遠い目

指数をわかりやすく 指数の法則

天才数学者
『指数』のところに、マイナスや、足し算や、分数とかを入れたらもっと便利になるんじゃない?

と思ったのかどうかはわかりませんが、

『指数』はプラスの整数だけでなく、

マイナスや足し算、分数の表現もできるようになっています。

◾️『指数法則』

  • $$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
  • $$ a^m ÷ a^n = a^{m-n} $$
  • $$ (a^m)^n = a^{m \times n} $$
  • $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$
  • $$ a^0 = 1 $$
  • $$ a^{\frac{1}{n}} $$・・n乗するとaになる数

4番目の『指数』をマイナスで表現することで、どんどん小さくなっていきます。

記号読み大きさ
dデシ$$10^{-1}$$
cセンチ$$10^{-2}$$
mミリ$$10^{-3}$$
μマイクロ$$10^{-6}$$
nナノ$$10^{-9}$$
pピコ$$10^{-12}$$
fフェムト$$10^{-15}$$

パソコンやスマホで使われている『半導体(はんどうたい)』の世界では、

『ナノメートル(nm)』でのしのぎあいが繰り広げられています。

■Intel社製CPUのプロセスルール遷移

  • 2010年・・45nm
  • 2012年・・32nm
  • 2014年・・22nm
  • 2015年・・14nm
  • 2019年・・10nm

nm(ナノメートル)とは?CPUのプロセスルールとその歴史

細胞にしろ、半導体にしろ、

アオキ
目には見えない小さい世界でいろんな事が起こってるんでしょうなぁ。

指数をわかりやすく 指数の微分

『シェーダ』でも『統計学』でも『物理学』でもひっぱりだこの『微分(びぶん)』も、

『指数』と大きく関連しています。

『微分』に関する参考記事

指数をわかりやすくまとめてみて

『指数』も『対数』も、

  • 『映像系のプログラム』
  • 『統計学』
  • 『物理・化学』

の分野ではそれはもう必修のようで、

これからちょくちょく見直しつつ加筆しつつ、

役立つページにしていきたいと思います。

アオキ
もりもり使って慣れていくどー

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