数学

【ラジアン】とは わかりやすくまとめてみた【初心者向け】


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2020/6/5追記 ラジアンに関する動画を追加しました。

プログラミングを使って、

デザインをしたりアートを作ったりすることを、

『クリエイティブコーディング』というそうで、

子ども向けプログラミング道場『CoderDojo熊本』でも取り入れたいなと思っていまして。

今回のお題は『回転』

絵だったり図形だったりを『回転』させたり、

相手の方向に向けたいなぁと思ったりして。

90度動かしたり、180度動かしたりしてはいたものの、

よくよく調査を進めていくと、角度を表現するには2つの方法があるそうです。

  • 度数法・・ 60度とか90度とか一般的な方法
  • 弧度法・・円周の長さをラジアンという単位で角度として扱う方法

そして、プログラミングでは『ラジアン』が主に使われるそうで。

・・・

・・・

・・・ラジアン?

アオキ
というか『ラジアン』ってなんなのさ?

というわけで、いろいろググってまとめてみることにしました。

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ラジアンとは わかりやすく・・そもそもなぜに360度?

角度がぐるっと一周回ったら360度というのは、

小学生の頃から何度も教わってきたんですが、

アオキ
そもそもなぜに360度?

と調べてみると、古代メソポタミア時代までさかのぼるそうで。

はっきりとしたことは分かっていませんが、メソポタミアの人達が勝手に決めたそうです。
当時の計測方法では1年が360日くらい、ということが分かっていて、ちょうど色んな数字で割りやすい数字として、360を一周にすると決められたと言います。

つまり、そのときメソポタミアの誰かが、
「やっぱ362°にしようぜ。」
と言ってたら、一回転は362°になっていたのかもしれません。

参照元:一回転ってなんで360度なの?その意外な理由

アオキ
おぅ、、結構アバウトな感じだったんですね・・

思えば、

  • 1年は365日。太陽の周りを地球が一周する期間。
  • 角度の一周は360。

・・

・・

・・ん・・?

アオキ
365と360、、実は微妙にずれている・・?

と思ったり。

そこで登場するのが、半径を意味するラテン語『radius』に由来する『ラジアン』です。

ラジアンとは わかりやすく ぴったり一周させたくて

『ラジアン』は、『円の周りの長さ』を重要視しています。

半径が1メートルの円があったとして、
円の周りの長さが1メートルの時の角度を決めちゃおうとなって、

『1ラジアン』と呼ぶことになりました。

  • 1rad・・・1ラジアン。
  • 円の周りの長さ・・円弧(えんこ)と呼びます。
アオキ
1ラジアンは約57.295・・だそうです。

円の周り(円周)の長さは、

  • 円周の長さ = (半径+半径) × 円周率
  • 円周の長さ$$ = 2 \pi r $$

ということになっているので、

例えば半径が1メートル、直径2メートルの円周の長さは、

円周の長さ = $$ 2 \pi $$

となります。

(本当は $$ 2rad \pi $$ なのですが、radはカットするようです。)

円周の長さをそのまま角度として扱うのが『ラジアン』なので、

  • 360度 = $$ 2 \pi $$ <- これが角度
  • 180度 = $$ \pi $$ <- これが角度
  • 90度 = $$ \frac{1}{2} \pi $$ <- これが角度

ということになります。

『プログラム』でぴったり『回転』させようと思ったら、この法則を使うというわけですね。

アオキ
『ラジアン』は日本では『弧度法(こどほう)』と呼ばれたりもします。
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ラジアンをわかりやすく・・度数法をラジアンに変換

実はこの『ラジアン(弧度法)』は、国際単位系の角度の単位になっており、

世界中で一般的な考え方だったりします。

一方で、

コンパス大好きお姉さん
やっぱり一周は360度でしょっ

という意見も多数あり、確かに、

半径なら180度、直角なら90度というのもわかりやすいので、

度数法を『ラジアン』に変換して使う。

という方法が考え出されました。

度数法を『ラジアン』に変換して使うための計算式はこうなります。

ラジアン$$ = 角度 \times \pi \div 180$$

例えば90度なら、

ラジアン$$ = 90 \times \pi \div 180$$
$$ = \frac{1}{2} \pi$$
になって、

例えば180度なら、

ラジアン$$ = 180 \times \pi \div 180$$
$ = \pi$
になります。

『プログラム』で使う場合には、
度数法→『ラジアン』に変換する場合もあれば、
専用の関数が用意されている『プログラム言語』もあります。

『JavaScript』なら、
最初に角度を指定して、
Math.PI をかけて180度で割ってとしたり、

var $angle = 30;
var $radian = Math.PI * $angle / 180;

『PHP』なら deg2rad関数があり、

『Python』ならmath.degrees関数があったりします。

人にとってわかりやすい角度での指定を、

より正確な値で使うために、『ラジアン』に変換するということですね。

ラジアンとは わかりやすく 度数法とラジアンの変換表

度数と『ラジアン』の主要な角度の変換表をつくってみました。

よく使うのは、

  • 45度
  • 90度
  • 180度
  • 360度

の4つかなと思います。

度数(deg)ラジアン(rad, 弧度)
00
30$$\frac{\pi}{6}$$
45$$\frac{\pi}{4}$$
60$$\frac{\pi}{3}$$
90$$\frac{\pi}{2}$$
120$$\frac{2}{3}\pi $$
135$$\frac{3}{4} \pi$$
150$$\frac{5}{6} \pi$$
180$$\pi $$
360$$ 2\pi $$

ラジアンとは わかりやすく 角速度や角周波数

『ラジアン』は、円の周りの長さを表していて、

  • 360度 = $$ 2 \pi $$ <- これが角度

という事になっています。

『円周上を動く(円の周りを動く)』という考え方は、

『プログラム』だけに限らず、実は、

  • 電気

など、いろんなところで使われています。

『円周上で動く』速度や周波数は特別に、
『角(かく)』をつけて表します。

  • 角速度・・円周上で動く速度
  • 角加速度・・円周上で動く加速度
  • 角振動数・・円周上で考える振動数
  • 角周波数・・円周上で考える周波数

などなど。

関連記事

アオキ
角は英語でangular(アンギュラー)で、角度という意味になります。

例えば『波』の場合は、

『円周上を何回回ったか』

というのが大事になってくるので、

『角度』で考えるより、『ラジアン』で考えた方がわかりやすくなってきます。

  • 円を1周・・$$ 1 \times 2 \pi = 2\pi $$
  • 円を2周・・$$ 2 \times 2 \pi= 4 \pi $$
  • 円を3周・・$$ 3 \times 2 \pi= 6 \pi $$
  • 円を4周・・$$ 4 \times 2 \pi= 8 \pi $$
  • 円を40周・・$$ 40 \times 2 \pi= 80 \pi $$
コンパス大好きお姉さん
円を40周した時の角度は?

と聞かれても、なかなかとっさには返せないですが、

『ラジアン』の場合は、

$$ 2 \pi $$を40周なので $$ 80 \pi $$ですな。

っというのがさくっと計算できるようになります。

アオキ
1周ではなく何周も、と考えた時に『ラジアン』の便利さがわかってきますな。
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ラジアンをわかりやすくまとめてみて

キャラクターなり図形なりを動かそうと思うと、

『傾き』だったり『回転』だったりがどうしても必要になってきます。

『度数』で設定することももちろんできるのですが、

より厳密に、ぴったり合わせるためのツールが『ラジアン』かなと思います。

また、『波』や『電気』の分野となると、

1周ではなく何十周も、何百周もすることになるので、

『ラジアン』で表現した方がわかりやすいということにもなりますね。

アオキ
なんとも聞きなれない言葉ではありますが、くるくる回転させたいとなったら必須みたいなので、
アオキ
ぜひしっかり使いこなせるようになりたいもんですね。

参考記事
ラジアン(弧度法)の意味と「度」への変換方法

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