数学

【虚数】【複素数】とは わかりやすくまとめてみた【初心者向け】

『3Dプログラミング』で『回転』をさせたいなとその方法を探るうちに、

よく見かけるようになった、『虚数(きょすう)』『複素数(ふくそすう)』

アオキ
そんなの学校で習ったっけ・・?←完全に忘れてる

ということで、『虚数』と『複素数』について、まるっとまとめてみることにしました。

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虚数とは わかりやすく 由来と目的

そもそも『虚数(きょすう)』という名前がとっつきにくかったので、

英語だとどう書いてあるか調べてみると、

『imaginary number(イマジナリーナンバー)(想像上の数)』という意味だそうです。

アオキ
イマジンと言ったらやっぱジョンレノンだなぁ。

実際には存在しない数字をなぜにつくったのかというと、

  • その方が計算がしやすくなる
  • その方が回転しやすくなる
  • その方が周期性のある(繰り返しのある)計算が楽になる

といった目的があったそうで、

  • 電磁波
  • 交流電流
  • 3Dプログラミング

などの分野でよく使われているようで。

歴史的には、

  • 1500年代に『ジェロラモ・カルダーノ』が発見して
  • 1637年にデカルトが初めて『虚数』という言葉を使って
  • 『レオンハルト・オイラー』や『カール・フリードリヒ・ガウス』を経て
  • 1843年に『ウィリアム・ローワン・ハミルトン』が四元数に拡張

といった流れがあるそうです。

アオキ
『四元数』はのちほど・・

虚数とは わかりやすく 虚数で回転させてみる

現実世界に存在しない数が『虚数(imaginary number)』なんですが、

具体的にいうと、

2乗して -1 になる数字のことだそうです。

$i^2 = -1$
$i = \pm\sqrt-1$

アオキ
まぁイメージだからね、なんでもありだよね、うん。
  • 実際に存在する数・・『実数(real number)(リアルナンバー)』
  • 想像上の数・・『虚数(imaginary number)(イマジナリーナンバー)』

と区別して、平面に置いてみます。

  • 1 に i をかける・・1i になる
  • 1iにiをかける・・ i × i で -1 になる
  • -1にiをかける・・-i になる
  • -iにiをかける・・-i × i で 1 になる

と、ぐるっとまわるように描くことができます。

アオキ
文字通り『回転』してますな・・
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虚数とは わかりやすく 複素数とは

  • 実際に存在する数・・『実数(real number)(リアルナンバー)』
  • 想像上の数・・『虚数(imaginary number)(イマジナリーナンバー)』

として、

『実数』+『虚数』の組み合わせを、
『複素数(ふくそすう)』というそうです。

  • 『複素数』・・英語で『complex number(コンプレックスナンバー)』
  • complex・・日本語だと複合とか混合とか
アオキ
個人的にはこれも英語の方がピンとくるかなぁ。

こちらも『実数』と『虚数』を組み合わせて平面をつくってみると、

『複素数』(3+2i) の場合はこうなります。

アオキ
グラフで見るとわかりやすいかなぁ。

虚数とは わかりやすく オイラーの公式

『虚数(imaginary number』を一躍有名にしたのが、

天才数学者『レオンハルト・オイラー』。

『レオンハルト・オイラー』がつくった等式・公式がこちら。

■オイラーの等式

$e^{i\pi} = -1$

■オイラーの公式
$e^{i\pi} = \cos\theta +i\sin\theta$

  • 『虚数 i』
  • 『円周率 π』
  • 『ネイピア数 e』

の3つの要素がシンプルな形で組み合わさっていて、

『数学史上もっとも素晴らしい公式』という人もいるようです。

物理学者の『リチャード・ファインマン』は、
この公式を評して
「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」だと述べている。
 
参考:Wikipedia オイラーの公式
 

アオキ
『虚数』『円周率』『ネイピア数』の異業種タッグマッチですかね。←違う

証明は、『テイラー展開(マクローリン展開)』を使うのですが、
ちょっと長くなるので他記事を参照いただきたく。

オイラーの公式とは何か?オイラーの等式の求め方の流れを紹介【我々の至宝と評された公式】

『ネイピア数』の参考記事


『ラジアン』の参考記事

『テイラー展開(マクローリン展開)』の参考記事

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虚数とは わかりやすく 四元数(クォータニオン)

『3Dプログラミング』をやっていると、

物体を『回転』させる方法として、

『クォータニオン』を使う、なんて事がよく書かれています。

  • クォータニオン(英語でQuaternion。日本語で四元数(しげんすう)

よくよくググってみるとどうやら『虚数』を『拡張』した方法だそうで。

ハミルトン
思い切って『虚数』を3つに増やしちゃったら3Dでも回転できちゃったんよー

と言ったかどうかはさておいて、

角度と3つの虚数を組み合わせることで、

3D空間の姿勢なども制御できるようになるようです。

クォータニオン (Quaternion) を総整理! ~ 三次元物体の回転と姿勢を鮮やかに扱う ~

クォータニオン(四元数)

アオキ
クォータニオンは専門記事だとめっちゃややこしいけど、プログラムで使うだけならそんなに難しくないようです。

虚数とは わかりやすくまとめてみて

元々は、『クォータニオン』から先に知って、
少しずつ深掘りして、ようやく記事がかけるようになりました。

『オイラーの公式』などは『物理学』では必須のようで、

まだまだ使いこなせていない感があるので、

何度か繰り返してものにしていきたいところです。

アオキ
イマジン・・オール・ザ・ピーポー〜♪
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