数学

【テイラー展開】をわかりやすくまとめてみた【おすすめ動画あり】

計算マン
式が複雑すぎて解くのがめっさ難しいから、
計算マン
どうにか簡単に表現できないっすかね・・・

というニーズに応える方法として生み出されたのが『テイラー展開』

『ブルック・テイラー』(1685-1731) が導入したと言われています。

『テイラー展開』の特徴はこれら。

・複雑な関数を『多項式』で表せる
・ある1点の情報から近所(近接)の事を知る事ができる

アオキ
そもそも『多項式(たこうしき)』ってなんだったっけ・・?

ということで、まずは『単項式(たんこうしき)』と『多項式(たこうしき)』の違いからまとめてみます。

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テイラー展開をわかりやすく まずは単項式と多項式

まずは『単項式(たんこうしき)』から。

『単項式』は掛け算だけでできています。

$ 2y= 2 \times y $
$ -50y= -50 \times y $
$ 3abc= 3 \times a \times b \times c $

掛け算の「×」は省略できて、くっつけられるので、
『2y』『-50y』『3abc』はそれぞれ1つの『項(こう)』ということになります。

続いて『多項式』。
$ 2a + b = 2 \times a + b $
$ 2a^2 – 3b^2 = 2 \times a \times a + ( -3 \times b \times b) $
$ 10a^2 + b = 10 \times a \times a + b $

『多項式』は「+」や「-」が含まれていて、
いくつかの『項(こう)』をくっつけた式になっています。

アオキ
『テイラー展開』は、ややこしやな関数を『多項式』の形に変換できるってことですかね。

テイラー展開をわかりやすく マクローリン展開とは

『テイラー展開』は、
ある1点の情報から近所の事を知るというのが大きい特徴なのですが、

ある1点が 0 (原点まわり)の場合は特別に、
『マクローリン展開』とも呼ぶそうです。

  • 『コリン・マクローリン』(1698-1746) スコットランドの数学者。

18世紀に『ブルック・テイラー』さんが提唱した時に、
『マクローリン展開』と言っていたとかいないとか。

アオキ
きっとリスペクトの意味がこもっているんでしょうなぁ。
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テイラー展開をわかりやすく ある1点から近所の事を知るって?

教育系Youtuber『ヨビノリたくみ』さんの動画を参考にまとめてみました。

お題で上がっていたのは、

『指数関数』$ f(x) = e^x $

$ x = 0 $まわりで『テイラー展開』するという内容で。

$ e $『ネイピア数』と言って、
グラフにするとこんな形にぐいーんと伸びていく形になります。

アオキ
1点(今回はx)が0なので『マクローリン展開』でもあります。

テイラー展開をわかりやすく ステップ1 1次関数を見つける

まずは、$ x = 0 $ の近くで、$ f(x) = e^x $ っぽい『1次関数』を見つけます。

  • 1つめの条件・・xに0を代入したら1になる。(0次近似(ゼロジキンジ)といいます。)

$ f(0) = 1 $

  • 2つめの条件・・『微分』して0を入れても同じ値になってほしい。(1次近似(イチジキンジ))

$ f'(0) = 1 $

微分の参考記事

2つを満たす1次関数はこれ。
$ f(x) = 1 + x $

アオキ
円のあたりは近くなったような・・

でも『1次関数』は直線なので、曲がってる箇所は寄せれません。

アオキ
もっと近づけるためにはどうするかというと・・
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テイラー展開をわかりやすく ステップ 2次関数を見つける

『2次関数』ならぐいっと曲げて表現できるので、

$ x = 0 $ の近くで、$ f(x) = e^x $ っぽい『2次関数』を見つけます。

  • 1つめの条件・・xに0を代入したら1になる。(0次近似)

$ f(0) = 1 $

  • 2つめの条件・・『微分』して0を入れても同じ値になる。(1次近似)

$ f'(0) = 1 $

  • 3つめの条件・・2次関数なので『2階微分』して0を入れても同じ値になってほしい。(2次近似)

$ f”(0) = 1 $

3つの条件を満たす式はこれ。

$ f(x) = 1+x+ \frac{1}{2}x^2 $

グラフにのせてみると・・

アオキ
さっきより近い範囲が広がった・・!

この要領で、もっと近づけるためには、

  • 3次関数
  • 4次関数
  • 5次関数
  • 6次関数
  • n次関数
  • ・・・

と次元をあげて、無限に繰り返せば、グラフにぴったり寄せることができるということになるようです。

アオキ
それにしてもよくこんなこと考えますな・・

テイラー展開をわかりやすく 一般のテイラー展開も同じ要領で

テイラー展開の式は以下。

xにaを入れると、f(a)だけ残って、後ろは全部0になります。(0次近似)
f(a) = a (後ろは全部0)

『1階微分』にaを入れてf'(a)にすると、
定数が消えて、f'(a)だけ残って、後ろは全部消えます。(1次近似)

『2階微分』にaを入れてf”(a)にすると、f”(a)だけ残ることに。(2次近似)

無限にやっていくとイコールになります。

アオキ
バムクーヘンみたく徐々に近い範囲がひろがっていくんでしょうな
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テイラー展開をわかりやすく sinxでも試してみる

参考動画の最後に、

$ y = sinx $

を『テイラー展開』した時のグラフが載っていたのでやってみる事にしました。

アオキ
なぜにこんな形になるの?と思ったらこちらの記事を参考にしてみてください。

参考記事

$ sinx $を『テイラー展開』した時の式はこう。

$ y = x – \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 $ ・・・

1つずつグラフに載せてみると・・

0次近似。$ y = x $

1次近似。$ y = x – \frac{1}{3!}x^3 $

2次近似。$ y = x – \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 $

3次近似。$ y = x – \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 – \frac{1}{7!}x^7 $

4次近似。$ y = x – \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 – \frac{1}{7!}x^7 + \frac{1}{9!}x^9 $

アオキ
確かにどんどん波の形になってきてますな・・すごい・・

他にも『テイラー展開』できる式はたくさんあって、ウィキペディアにまるっとまとまっています。

  • 指数関数
  • 自然対数
  • 幾何級数
  • 二項定理
  • 三角関数
  • 双曲線関数
  • ランベルトのW関数

などなど。

無限に繰り返すので『シグマ($ \sum$ )』で表現されていますが、考え方は同じです。

アオキ
公式みるだけならウィキペディアめっさ便利ですな。

テイラー展開 | Wikipedia

テイラー展開をわかりやすくまとめてみて

複雑な式をできるだけ簡単に表現しようとした『テイラー展開』。

式の丸暗記は流石にしんどいので、

『テイラー展開』の目的、やりたい事をぼんやりと知っておきつつ、

・複雑な関数を『多項式』で表せる
・ある1点の情報から近所の事を知ることができる

複雑な式も簡単に解きほぐせるという事を知っておくと、
よりややこしい式も使いこなせるようになるようです。

アオキ
数学の世界は深淵ですな・・徐々に深掘りできるようになりたいもんです。
 

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