『プログラム』でかっこいい映像をつくりたいと『シェーダー』を調べていると、

やけに目にする機会が増えた、『指数(しすう)』と『対数(たいすう)』。

『指数』ってこんなの。

$$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$$

『対数』ってこんなの。

$$\log_{ 2 } 8 = 3$$

『指数』と『対数』は掛け算と割り算みたいな関係になっているそうで。

なんて思っていたんですが、

よくよくググっているうちに、

• 経済学
• 統計学
• 物理学(熱も流体も)
• 生物学
• 科学
• 情報工学(IT)
• コンピュータグラフィックス
• 日常生活(音、震度、天気、電波、スマホ)

などなど、

実はものすごい範囲で使われている事を知りました。

ということで、できるだけわかりやすくまとめてみることにしました。

『対数』についての参考記事

この記事では『指数』についてまとめています。

指数をわかりやすく 指数の目的や使いみち

まずは『指数(しすう)』。

『指数』は、数字の右上に小さく数値(文字)を書くことで、

同じ数を右上の数だけ掛け算した値になります。

$$10^3$$ の場合、10を3回かけ算するという意味になります。

$$ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 $$

ですね。

グラフにすると、こんな形になっていきます。

『指数』を使うと、

とんでもなく大きい数(小さい数)をわかりやすく表現できるようになります。

例えば日本の人口が1億2千万人として、

全て数字で書くと

120000000

になります。

世界人口 70億人だと、

7000000000

になります。

『指数』を使うと、0をまとめてすっきり書くことができます。

• 1億2千万人の場合・・ $$ 12 \times 10^7 $$
• 70億人の場合・・$$ 7 \times 10^9 $$

になります。

別の例えで、人間の細胞は約37兆個あるそうです。

『指数』で表すと、$$ 37 \times 10^{12} $$ になります。

気になる数字をチェック! 37兆個 | 北大リサーチ&ビジネスパーク

また、キロメートルやセンチメートルなどの単位も『指数』で表すことができます。

記号	読み	大きさ
k	キロ	$$10^3$$
M	メガ	$$10^6$$
G	ギガ	$$10^9$$
T	テラ	$$10^{12}$$
P	ペタ	$$10^{15}$$

『スマホ』で使われている『周波数』もこれらの単位が使われています。

画像出典：docomo 電波ってなあに？

天文学などの分野でも大きい数字が必要で、『指数』が重宝しているようです。

スケールの大きさが分かる動画がありました。

指数をわかりやすく 指数の法則

と思ったのかどうかはわかりませんが、

『指数』はプラスの整数だけでなく、

マイナスや足し算、分数の表現もできるようになっています。

◾️『指数法則』

• $$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
• $$ a^m ÷ a^n = a^{m-n} $$
• $$ (a^m)^n = a^{m \times n} $$
• $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$
• $$ a^0 = 1 $$
• $$ a^{\frac{1}{n}} $$・・n乗するとaになる数

4番目の『指数』をマイナスで表現することで、どんどん小さくなっていきます。

記号	読み	大きさ
d	デシ	$$10^{-1}$$
c	センチ	$$10^{-2}$$
m	ミリ	$$10^{-3}$$
μ	マイクロ	$$10^{-6}$$
n	ナノ	$$10^{-9}$$
p	ピコ	$$10^{-12}$$
f	フェムト	$$10^{-15}$$

パソコンやスマホで使われている『半導体(はんどうたい)』の世界では、

『ナノメートル(nm)』でのしのぎあいが繰り広げられています。

■Intel社製CPUのプロセスルール遷移

• 2010年・・45nm
• 2012年・・32nm
• 2014年・・22nm
• 2015年・・14nm
• 2019年・・10nm

nm（ナノメートル）とは？CPUのプロセスルールとその歴史

細胞にしろ、半導体にしろ、

指数をわかりやすく 指数の微分

『シェーダ』でも『統計学』でも『物理学』でもひっぱりだこの『微分(びぶん)』も、

『指数』と大きく関連しています。

『微分』に関する参考記事

指数をわかりやすくまとめてみて

『指数』も『対数』も、

• 『映像系のプログラム』
• 『統計学』
• 『物理・化学』

の分野ではそれはもう必修のようで、

これからちょくちょく見直しつつ加筆しつつ、

役立つページにしていきたいと思います。

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