普段生活している上ではなかなか出会う機会がなかったのですが、

最近よく目にするようになった、

• 『機械学習』
• 『統計学』
• 『メディアアート』

など様々な分野で、

『順列』や『組み合わせ』はたっぷり組み込まれているようで。

ということで、
『順列』や『組み合わせ』など複数の数字を取り扱う方法について、
まるっとまとめてみることにしてみました。

階乗とは わかりやすくまとめてみた

まずは『階乗(かいじょう)』。

順番がある並び方になります。

例えばA君、B君、C君の3人で、
ヨーイドンと走った時のパターンの数はというと、

• A-B-C
• A-C-B
• B-A-C
• B-C-A
• C-A-B
• C-B-A

ということで6通りになります。

こんなパターンの計算を表しているのが『階乗(かいじょう)』。

ビックリマークで表します。

$$ n! $$

計算的には、

• nから始まって
• nを1ずつ減らしつつ
• それら全部を掛け算

すればOKです。

$$ n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \cdots 3 \times 2 \times 1 $$

例えば6人で走った時のパターンはというと、

$$ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$$

ということで720通りになります。

『プログラム』を組むとこうなるかなと思います。(スマホの場合はResultを押してね)

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factorial-test by aoki_monpro (@suica)
on CodePen.

順列(nPk)とは わかりやすくまとめてみた

ビックリマークの『階乗(かいじょう)』だと、

走った人数全員を計算することになります。

例えば、

• 10人で走ったうち、上位4人の順番のパターンは・・・
• 20人で走ったうち、上位15人の順番のパターンは・・・

という場合は『階乗』だと対応できないです。

そんな時に使えるのが『順列(じゅんれつ)』。

英語で『Permutation(パーミュテーション)』。

書き方はこう。

$$ {}_n \mathrm{ P }_k $$

nの方に全体の数を書いて(上の例だと10人や20人)
kの方に知りたい数を書いて表します。(上の例だと4人や15人)

計算的には 、

• nから始まって
• nを1ずつ減らしつつ
• kの数だけ掛け算

になります。

$$ {}_n \mathrm{ P }_k = n \times ( n – 1 ) \cdots ( n – k + 1 ) = \frac{ n! }{ ( n – k )! } $$

例えば9人で走って、上位4人の順番のパターンは、

$$ {}_{9} \mathrm{ P }_4= 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024 $$

ということで、3024通りになります。

『プログラム』を組むとこうなるかなと思います。(スマホの場合はResultを押してね)

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Permutation-test by aoki_monpro (@suica)
on CodePen.

組み合わせ(nCk)とは わかりやすくまとめてみた

順番をつける場合は『階乗(!)』か『順列($$ {}_n \mathrm{ P }_k $$)』でいいのですが、

順番をつけずに組み合わせる数を知りたい場合もあります。

例えばにぎり寿司が4種類あるとして、
その中から2個を選ぶ組み合わせを知りたいとしたら。

『組み合わせ』を使います。

英語で『Combination(コンビネーション)』。

書き方はこう。
$$ {}_n \mathrm{ C }_k $$

計算的には、2種類のかけ算を組み合わせて計算します。

$$ {}_n \mathrm{ C }_k = \frac{nから数を下げながらk個のかけ算}{1から数をあげながらk個のかけ算}$$

先ほどの4種類から2個を選ぶ場合はこうなります。

$$ {}_4 \mathrm{ C }_2 = \frac{4 \times 3 }{1 \times 2 } = \frac{12}{2} = 6$$

9種類から3個を選ぶ『組み合わせ』の数ならこうですね。

$$ {}_{9} \mathrm{ C }_3 = \frac{9 \times 8 \times 7 }{1 \times 2 \times 3 } = \frac{504}{6} = 84$$

『プログラム』を組むとこうなるかなと思います。(スマホの場合はResultを押してね)

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Combination-test by aoki_monpro (@suica)
on CodePen.

順列や組み合わせなどを Pythonでやってみた

『統計学』や『機械学習』で大人気のプログラム言語『Python(パイソン)』を使うと、

『順列』『組み合わせ』『階乗』などをあっさりと計算・表示することができます。

いくつか方法がありますが、『Python』で『scipy』というライブラリを使った例です。

from scipy.special import factorial
from scipy.special import perm
from scipy.special import comb

f = factorial(5)
p = perm(3,2)
c = comb(5,3)

print(f) # 120.0 と表示
print(p) # 6.0 と表示
print(c) # 10.0 と表示

あっさりと答えが返ってきます。

『Python』を手軽に試せる方法はこちら

階乗・順列・組み合わせをPythonでやってみた

順列や組み合わせなどを わかりやすくまとめてみて

これまでの生活ではなかなか出番がなかったのですが、

いざやってみると計算自体はかけ算なので難しくはなく、

普段の生活でも取り入れていきたいなと思えるようになりました。

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